【導(dǎo)讀】關(guān)于串?dāng)_，之前發(fā)布過兩篇文章，但都淺嘗輒止，本文試圖從串?dāng)_的根本原理出發(fā)，重新探討串?dāng)_話題，為高級(jí)篇。
關(guān)于串?dāng)_，之前發(fā)布過兩篇文章，但都淺嘗輒止，本文試圖從串?dāng)_的根本原理出發(fā)，重新探討串?dāng)_話題，為高級(jí)篇。
提到串?dāng)_，對(duì)于大多數(shù)信號(hào)完整性工程師來說，首先想到的應(yīng)該就是圖1所示的典型的串?dāng)_原理圖和圖2所示的典型的串?dāng)_波形。
圖1典型的串?dāng)_原理圖
圖2典型的串?dāng)_波形
從侵入線（Aggressor）的發(fā)送端注入一個(gè)具有快速上升沿的階躍信號(hào)，經(jīng)過td到達(dá)侵入線的接收端，在受害線（Victim）的兩端分別觀測(cè)到耦合造成的近端串?dāng)_（Near End Crosstalk，NEXT）和遠(yuǎn)端串?dāng)_（Far End Crosstalk，F(xiàn)EXT）。對(duì)于無損傳輸線，當(dāng)耦合長(zhǎng)度大于飽和長(zhǎng)度時(shí)，近端串?dāng)_系數(shù)為Kb ，遠(yuǎn)端串?dāng)_系數(shù)為Kf ，分別表示為公式(1)和公式(2)，其中 代表信號(hào)在傳輸線中的傳輸速度。
在此有兩個(gè)疑問：
1、經(jīng)典的串?dāng)_分析都是注入的信號(hào)為一個(gè)具有快速上升沿的階躍信號(hào)，如果將階躍信號(hào)替換為任意波形，那么得到的串?dāng)_波形會(huì)是什么？
2、為什么近端串?dāng)_系數(shù)中的常系數(shù)是1/4，而遠(yuǎn)端串?dāng)_系數(shù)中的常系數(shù)為1/2？
帶著這兩個(gè)疑問，我們重讀串?dāng)_的基本原理，試圖找到答案。
1、波的傳播
函數(shù)為f(t)的波，從原點(diǎn)出發(fā)沿+Z方向傳輸，波的傳播速度為v ，經(jīng)過時(shí)間t0到達(dá)Z0，此時(shí)波的函數(shù)表示為f(t-t0)=f(t-z0/v)。 隨時(shí)間增加而增加，f(t)沿+Z方向持續(xù)移動(dòng)，因此沿 軸傳輸?shù)牟ǖ暮瘮?shù)可以用公式(3)來描述，公式(3)中包含兩個(gè)變量：時(shí)間t 和位置z 。V(z,t)=f(t-z/v)
(3)
用數(shù)學(xué)的方法對(duì)公式(3)求偏微分得到一系列的方程有:
在后續(xù)求解串?dāng)_波形函數(shù)時(shí)需要用到這些公式。聯(lián)立式(5)與式(7)就能得到大家熟悉的波動(dòng)方程[1]，即
2、互感與互容
串?dāng)_在電磁場(chǎng)中表現(xiàn)為相鄰傳輸線間的磁場(chǎng)耦合和電場(chǎng)耦合；在電路中分別采用互感和互容來描述磁場(chǎng)耦合和電場(chǎng)耦合的大小。
1）互感
互感如圖3所示，自感與互感所導(dǎo)致的電壓與電流之間的關(guān)系用方程描述為式(9)。
方程組(9)表示為矩陣形式為公式(10)，公式(10)中的電感矩陣中的Lii為自電感,Lij為互感。
2）互容
互容如圖4所示，自電容與互電容所導(dǎo)致的電壓與電流之間的關(guān)系用方程描述為式(11)。
方程組(11)表示為矩陣形式為公式(12)，公式(12)中的電容矩陣中的Cii 為總電容,Cij為互容。
3. 感性耦合
特征阻抗均為Z0的一對(duì)相鄰無損傳輸線間單位長(zhǎng)度的互感量為L(zhǎng)m (Lm=L12=L21)，單位長(zhǎng)度的自電感為L(zhǎng)0(L0=L11=L22)。感性耦合機(jī)制如圖5所示。在dz 長(zhǎng)度的線段上由于入侵線中電流的變化通過感性耦合在相應(yīng)長(zhǎng)度的受害線線段兩端形成的電壓dVl 由式(13)表示。類似于耦合變壓器，受害線中耦合信號(hào)傳輸方向與入侵線中信號(hào)方向相反.dVl作用在均勻傳輸線上所形成的反向耦合電壓dVlb 與前向耦合電壓dVlf 大小相等方向相反，用式(14)表示。
4. 容性耦合
特征阻抗均為Z0的一對(duì)相鄰無損傳輸線間單位長(zhǎng)度的互容量為Cm (Cm=C12=C21)，單位長(zhǎng)度的總電容為C0(C0=C11=C22)。容性耦合機(jī)制如圖6所示。在dZ 長(zhǎng)度的線段上由于入侵線中電壓的變化通過容性耦合流向受害線的耦合電流大小dic 由式(15)表示。耦合電流分為反向耦合電流dicb 和前向耦合電流dicf ，兩者大小相等方向相反，分別作用于均勻傳輸線上，產(chǎn)生的反向耦合電壓dvcb 與前向耦合電壓dvcf 用式(17)表示。
3、串?dāng)_
1）遠(yuǎn)端串?dāng)_
遠(yuǎn)端串?dāng)_也稱前向串?dāng)_，其前向傳輸時(shí)延與入侵信號(hào)傳輸時(shí)延同步，到達(dá)前向終端的電壓幅度為每一微小線段dZ所產(chǎn)生的前向耦合電壓的疊加，用式(18)表示。
2）近端串?dāng)_
近端串?dāng)_也稱反向串?dāng)_，近端的輸出波是早期耦合波反向傳播的疊加，耦合波的傳輸距離是2倍的耦合線長(zhǎng)。每一微小線段dZ所產(chǎn)生的反向耦合電壓傳輸?shù)绞芎€的近端終端的波形函數(shù)同時(shí)為時(shí)間和位置相關(guān)的函數(shù)。近端耦合波形函數(shù)用式(22)表示。
從式(23)中不難發(fā)現(xiàn)，近端串?dāng)_波形是入侵線上注入的波形與注入波形延時(shí)2td 后所形成波形的差值再乘上近端串?dāng)_系數(shù)。
若入侵線上注入的波形為快速上升沿，上升時(shí)間為tr，電壓幅度為V1 ，則近端串?dāng)_波形就是大家熟知的梯形脈沖，階躍脈沖所造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_的計(jì)算波形如圖7所示，其中NEXT_Math和FEXT_Math分別為采用公式(19)和公式(23)計(jì)算得到的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_波形，計(jì)算所得到的波形與仿真所得到的波形有很高的吻合度。
圖7 階躍脈沖造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_
若入侵線上注入的波形為方波或者正弦波，并且2倍的傳輸時(shí)延td為脈沖周期 的整數(shù)倍，即公式(25)時(shí)，疊加得到的近端串?dāng)_幅度會(huì)在2td后抵消為0。對(duì)于傳輸時(shí)延為500ps的傳輸線，1GHz方波所造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_波形如圖8所示。但如果2倍的傳輸時(shí)延td為脈沖周期T一半的奇數(shù)數(shù)倍，即公式(26)時(shí)，疊加得到的近端串?dāng)_幅度在 后加倍。對(duì)于傳輸時(shí)延為500ps的傳輸線，1.5GHz方波所造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_波形如圖9所示。
圖8 1GHz方波造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_
圖9 1.5GHz方波造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_
4、小結(jié)
1. 遠(yuǎn)端串?dāng)_的幅度同入侵線注入波形的電壓變化率相關(guān)。
2. 均勻介質(zhì)中的傳輸線遠(yuǎn)端串?dāng)_為0。
3. 近端串?dāng)_系數(shù)中1/4中的1/2 表示耦合波的傳輸距離是2倍的耦合線長(zhǎng)。
4. 合適的耦合長(zhǎng)度可以減少連續(xù)脈沖信號(hào)造成的近端串?dāng)_。
（來源：信號(hào)完整性之旅，作者：王彥武）
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