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對于數(shù)字濾波器，描述系統(tǒng)特性用差分方程。設(shè)其輸入序列為x(k)，輸出序列為y(k)，則它們之間的關(guān)系可以用差分方程來表示：

y(k})+b1y(k-1)+…+bMy(k-M)=a0x(k)+a1x(k-1)+…+anx(k-N) (1)

其中，y(k)系數(shù)一般取1;b1，…bM及a0，…aN為常系數(shù);對于特定的系統(tǒng)，M和N為常數(shù)，分別代表輸出最高階數(shù)和輸入最高階數(shù)。

 

 

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有無限沖激響應(yīng)濾波器(IIR)和有限沖激響應(yīng)濾波器(FIR)兩種選擇。無限沖激響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)是借助模擬濾波器轉(zhuǎn)換的設(shè)計(jì)方法，一般有公式和圖表可查詢，另外還有一些典型模擬濾波器可供選擇，這種方法相對比較簡單。有限沖激響應(yīng)濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，可以保證絕對的穩(wěn)定，這有利于對諧波相位的分析。

在數(shù)字濾波器差分方程的基礎(chǔ)上，如果全部ak=0(k=0，1，…，N)，此時(shí)系統(tǒng)的輸出只和輸入x(n-k)有關(guān)系，則以上公式成為沒有反饋的遞歸結(jié)構(gòu)。設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(r)為一個(gè)N點(diǎn)有限長序列，其中0≤r≤N-1。

則FIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)可以表示為

 

從FIR數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)表達(dá)式可以看出，其傳遞函數(shù)是一個(gè)Z-1的N-1次多項(xiàng)式，它在z平面上有N-1個(gè)零點(diǎn)，沒有極點(diǎn)(有時(shí)認(rèn)為在原點(diǎn)上有N-1個(gè)重極點(diǎn))。其傳遞函數(shù)實(shí)際上就是單位抽樣序列的z變換。當(dāng)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)確定后，可以用一定的方法去逼近，目前FIR濾波器設(shè)計(jì)主要有3種方法：窗函數(shù)法、頻率抽樣法和切比雪夫最佳一致逼近法。

FIR濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)是根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo)確定一個(gè)傳遞函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)滿足給定的要求。這些方法設(shè)計(jì)出的濾波器特性都是在不同意義上對理想頻率特性的逼近。

3、FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

若信號高頻分量很小，信號大部分能量集中在低頻處，那么諧波測量儀只要求測到20次諧波就可以了，截止頻率為1 000 Hz左右，20次以上的諧波需要由濾波器濾除，為了達(dá)到更好的濾波效果，在硬件濾波的基礎(chǔ)上又增加了數(shù)字濾波器。這里以有閉合公式可循的窗函數(shù)法為例來介紹FIR濾波器設(shè)計(jì)。

 

 

首先，各技術(shù)指標(biāo)如下：

 

 

FIR濾波器的設(shè)計(jì)采用MATLAB數(shù)字信號處理軟件包提供的專用函數(shù)來直接求取FIR濾波器系數(shù)。在MATEAB中，提供了設(shè)計(jì)濾波器的函數(shù)。采用窗函數(shù)方法的函數(shù)firl，調(diào)用格式為：b=firl(n，ωn、window)或b=firl(n，ωn)，其中n是濾波器階數(shù)，ωn是0～1的數(shù)，ωn=ωc/2π=0.25，window為窗函數(shù)類型。由于濾波器長度N為34，因此階數(shù)n=N-1=33，則求取濾波系數(shù)的表達(dá)式為b=firl(33，0.25)。表1為利用MATLAB計(jì)算所得的濾波系數(shù)表。

 

 

在滿足各技術(shù)指標(biāo)的前提下，經(jīng)MATLAB仿真，圖1為頻率響應(yīng)曲線，阻帶衰減小于50 dB。圖2為S=S1+S2+S3的波形，其中S1=sin(50x 2xπxt)，S2=0.15xsin(25x50x2xπxt)，S3=0.1xsin(20x50x2xπxt)。圖3為濾除掉25次諧波S2和20次諧波S3后的波形圖。

 

 

由濾波前后兩個(gè)波形對比可以看出，該濾波器對20次以上諧波的濾除效果比較理想。

 

實(shí)現(xiàn)FIR濾波的核心器件是美國德州儀器公司生產(chǎn)的TMS320F2812DSP芯片。芯片內(nèi)12位精度的A/D轉(zhuǎn)換單元對輸入的模擬信號進(jìn)行采樣，DSP讀取采樣值后對每一點(diǎn)進(jìn)行FIR濾波處理，將數(shù)據(jù)存入內(nèi)部存儲(chǔ)器，為下一步進(jìn)行FFT運(yùn)算做準(zhǔn)備。以下為FIR濾波器流程圖。
 

 

 

下面對程序流程作詳細(xì)說明：
 

首先初始化DSP寄存器，分配存儲(chǔ)單元，并定義一些變量名稱，接著在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)區(qū)中開辟一個(gè)N單元的緩沖區(qū)，存放由MATLAB設(shè)計(jì)出的N個(gè)濾波系數(shù)。接下來讀入采樣值，并存入相應(yīng)存儲(chǔ)器A，然后開始濾波運(yùn)算。

具體運(yùn)算步驟如下：
 

1)累加器ACC清零，初始化兩個(gè)準(zhǔn)備相乘的存儲(chǔ)單元A與B的計(jì)數(shù)值K和L;

2)將第K個(gè)采樣值A(chǔ)K與濾波器系數(shù)序列第L個(gè)數(shù)BL相乘(K+L=N+1)，并將乘積送入累加器進(jìn)行累加;

3)將第K-1個(gè)采樣值A(chǔ)K-1存入AK單元，此時(shí)AK中的原數(shù)值被覆蓋;

4)重復(fù)(2)～(3)直至共完成N次乘加運(yùn)算;

5)輸出處理結(jié)果。
 

濾波運(yùn)算采用FFT算法。DSP控制器特有的反序間接尋址，為FFT算法的實(shí)現(xiàn)提供了方便。間接尋址方式還可以實(shí)現(xiàn)增/減l或增/減一個(gè)變址量，這就很容易實(shí)現(xiàn)各種查表方法。

 

Matlab仿真能夠輕松設(shè)計(jì)出具有嚴(yán)格線性相位要求的濾波器，在應(yīng)用中只需對程序中濾波器的起始頻率、截止頻率、采樣頻率和窗函數(shù)等參數(shù)進(jìn)行修改就可實(shí)現(xiàn)需要的濾波功能，實(shí)用性強(qiáng)。采用DSP控制器來實(shí)現(xiàn)FFT運(yùn)算從而使設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。利用Matlab輔助DSP實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的設(shè)計(jì)是解決濾波器從設(shè)計(jì)到實(shí)現(xiàn)的有效辦法，可以縮短DSP應(yīng)用程序的開發(fā)時(shí)間，提高了設(shè)計(jì)效率，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。