【導讀】本文討論了 Sallen-Key 低通濾波器的設計。為了便于具體電路參數選擇，采用了比率 設計方案進行討論，大大提高了電路參數的實現可能性。
01 Sallen-Key濾波器
一、背景介紹
近期由于需要測試所搭建的高阻抗信號源放大電路，其中包括有低通濾波器，所以研究了 Sallen-Key topology[1] 相關濾波電路電路。如下是 Kennth A. Kuhn 在 2016 給出的 Sallen-Key Low-Pass Filter[2] 設想步驟；2002年 TI 給出的 Analysis of the Sallen-Key Architecture[3] 應用報告，給出了不同 Kallen-Key 電路理論分析。
Sallen-Key 電子濾波器拓撲結構，由于其結構簡單，被用于二階有源濾波器電路設計，它是 VCVS（電壓控制-電壓輸出）濾波器簡化版本。VCVS 濾波器使用輸入阻抗高、輸出阻抗低的電壓放大器來實現 2 個極點的低通、高通、帶通濾波器。在不使用電感的情況下，可以獲得高 Q 值，通帶增益可調。多個 VCVS 濾波器可以直接級聯形成高階濾波器。Sallen-Key 濾波器則使用單位電壓增益的放大器（俗稱電壓跟隨器）設計的有源濾波器電路。
在1955年 R.P.Sallen，與 E.L.Key 利用了真空電子管陰極跟隨放大器-具有近似單位電壓增益電路設計濾波器。現代電子線路中則是普通的運算放大器進行設計，簡單情況下，使用晶體管發射極跟隨或者源極跟隨器進行設計。
二、電路分析
雖然 Sallen-Key 電路結構可以形成不同特性的濾波器，由于后面實驗需要，后面僅僅對低通濾波器設計進行討論。下圖是單位增益低通濾波器，可以實現 s 平面上任意極點（實數，或者復數）位置配置。通常情況下，四個器件（R1，R2，C1，C2）取值各不相同。
圖1.2.1 Sallen-Key 單位增益低通濾波器電路
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為了簡化分析，考慮在 s 域分析上述電路。利用 Kirchoff 節點電流定理，流過 R1 的電流等于流過 R2，C1的電流之和。方便起見，將 R1，R2，C1 連接節點電壓臨時設為 Vx。利用工作在放大區域的運放“虛短”特性，可以知道運放兩個輸入端的電壓都都與 Vo。于是有如下方程：
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兩邊乘以 R1,R2消除分母，可得：
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在根據 Vx，Vo之間的關系是 R2，C2 的分壓關系，可以知道：
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這樣可以得到：
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將 （4）代入（1）經過化簡可以得到濾波器輸入輸出之間的傳遞函數
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根據標準的二階系統的形式：
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可以得到系統的自然諧振頻率
和阻尼系數
：
三、電路設計
電路設計是電路分析的逆過程，根據已知的兩個指標（自然諧振頻率和阻尼系數）設計相應的電路參數。由于未知參數是四個，所以理論上滿足設計指標的濾波器參數有無窮多個。在實際電路中并不是所有的電路參數都能夠很好的工作（比如電阻，電容的取值不能夠太大，或者太小等），因此我們系是要確定實際可以使用的電路參數。
1、設計中的問題
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通常情況下，為了減少待定參數的個數，我們先選擇任意合適的電阻
，然后確定電容 C1，C2 的取值。這個方法看起來不錯，但實際上執行起來往往計算出來的電容取值不是標準電容系列，這就需要通過串聯和并聯的方式來獲得合適的電容。為了避免上述問題，往往先選擇兩個電容的取值
，在通過公式計算兩個電阻
。由于電阻系列往往具有較細的分級，所以計算出的電阻可以比較好得到滿足。
問題又來了，邏輯上 C1，C2 取相同的容值可以簡化電路設計，通過公式（7）可以看到電路的阻尼系數
將會永遠大于 1.0，在一些要求阻尼系數小于 1.0 時這個隱藏的缺陷可能凸顯出來。因此需要通過完整的數學而不是直覺徹底避免這個缺陷。
在工程數學中有一句俗語：“比例是你的朋友”（Ratios are your friend）。求解比例值，若不是形成比例值的具體參數可以減少未知變量的個數，從而簡化設計過程。下面給出的設計就是求解兩個比例 C1/C2，R1/R2。雖然數學推導過程看似繁瑣到令人發指，但結果卻非常簡單。
2、公式推導
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根據公式（7），為了方便起見，先對阻尼系數等式兩邊平方：
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將上述公式展開，并整理成比例形式
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重新成立成關于比值 R2/R1 的二次方程：
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最后求解化簡可得：
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費盡萬難得到公式（11），可以看出，當要求濾波器阻尼系數小于 1.0 時， 對應的電阻比值 R2/R1 就會出現復數情況，這當然在實現過程中出現困難。
3、電路設計過程
步驟1：
在文檔 Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters[4] 給出了有源濾波器設計中電阻、電容選擇標準系列。首先可以根據下面公式計算出 C1，C2 的幾何平均值：
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其中 Fn 是濾波器的自然頻率，單位 Hz 
，公式計算出的電容單位是法拉。當濾波器阻尼系數
要求小于 1 時， C1 可以選擇比幾何平均值大，C2 選擇較小的值。反之，當阻尼系數大于 1 時， C1，C2 的大小關系反過來。
步驟2：
首先計算出
，然后根據電容標準系列選擇合適的 C1 數值。建議選擇較小的標準電容值，這樣在后面計算 C2 和電阻值時比較容易得到實際可用的數值。選擇 C1 的數值可以在 三倍計算數值范圍內選擇。
步驟3：
根據選擇的 C1 數值，計算出
容值上限，然后在六個標準差范圍內選擇可以使用的電容數值。需要注意，如果選擇 C2 過小，可能會導致 R1，R2 數值過大。
步驟4：
至此，兩個電容數值 C1，C2 都已經確定下來，并且是可以使用的實際電容。然后利用公式（11）計算出 R1，R2 的比值。然后在根據公式（7）的前半部分，計算出R1，R2的乘積：
步驟5：
至此，可以根據
兩個數值分別計算出
各自的取值。
首先計算出 R1：
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根據上面計算數值，選擇最近的標準電阻阻值；然后再計算出 R2 的數值，選擇最近的標準電阻阻值。
步驟6：
當設計完成之后，代入公式核算濾波器的參數（自然頻率和阻尼系數）是否滿足。之后再查看選擇的 電容、電阻是否合理，避免過小的電容，過大的電阻，這樣都可能會因為運放的偏置電流以及集成電容使得濾波器性能產生較大的偏差。
四、設計舉例
下面設計一個 Sallen-Key 低通濾波器，選擇自然頻率為 1kHz， 濾波器的品質因素 Q=2。下面給出具體的求解過程。
根據
，可以得到
。
五、增益變化
當運放的增益不再是標準的單位增益，會對濾波器產生什么變化嗎？比如下面是通帶增益大于 1 的低通濾波器。增益由 R4,R3的比值決定。
圖1.5.1 通帶增益大于1的Sallen-Key低通濾波器
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根據同樣的分析，可以得到濾波器的傳遞函數為：
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相應的濾波器參數為：
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可以看到隨著運放增益提高， 濾波器的自然頻率增加，阻尼系數降低。如果將電容 C2 的數值
來源： TsinghuaJoking，卓晴
參考資料
[1] Sallen-Key topology: https://en.wikipedia.org/wiki/Sallen%E2%80%93Key_topology
[2] Sallen-Key Low-Pass Filter: https://www.kennethkuhn.com/students/ee431/sallen_key_low_pass_filter.pdf
[3] Analysis of the Sallen-Key Architecture: https://www.ti.com/lit/an/sloa024b/sloa024b.pdf
[4] Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters: https://www.kennethkuhn.com/students/ee431/choosing_rc_values_for_active_filter.pdf
[5] SALLEN-KEY FILTER CALCULATION TOOL: https://mimmotronics.com/sallen-key-design-tool/
[6] Sallen-Key Low-pass Filter Design Tool: http://sim.okawa-denshi.jp/en/OPseikiLowkeisan.htm
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