中心議題:
- 介紹SCF電路并用時域和頻域法分析開關電容梳狀濾波器的特性
- 經過深入分析得出相關結論
解決方案：
- 時域分析法的思路是根據電路結構建立電路的微分方程
- 開關轉換周期2T越小，α越大，梳齒間谷底越接近零，梳齒越尖銳
- 隨著電子開關切換周期2T增大，梳齒間谷底最小值增大，電路過渡為低通濾波器
最基本的開關電容電路是由電子開關和電容組成的，主要應用是構成各種低通、高通、帶通、帶阻等開關電容濾波器(Switched-Capacitor Filter，SCF)。將開關電容電路與運算放大器結合，組成的開關電容有源濾波器具有很多奇特的性質，但由于引入了電子開關，對電路特性進行嚴密分析變得異常困難，目前已有的分析方法都只是在一定條件下從一個側面進行近似分析，本文立足于最基本的電路理論，借助計算機系統對其進行復雜而嚴格的分析計算，最終得到了具有普遍意義的結論，上述文獻的結果只是該普遍性結論的特例。
SCF電路
開關電容有源濾波器電路如圖1(a)，其中S1和S2是由周期為2T的方波信號控制的理想電子開關，方波控制信號p(t)波形如圖1(b)，其占空系數為0.5。即在2kT<t<(2K+1)T期間兩開關接通A點，在(2K+1)T<t<(2K+2)T期間兩開關接通B點，其中K=0，1，2，…，是時段編號。
時域法特性分析
時域分析法的思路是根據圖1的電路結構建立電路的微分方程(以輸出電壓為研究對象)。轉換周期為2T的電子開關的方波控制信號可表示為周期為2T的周期信號p(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積：
式中：k=0，1，2，…。fT=1／(2T)為開關頻率，電路在k時段的時域響應(輸出電壓)表示為hk(t)，并設：
(1)電容C在t=0_時刻電壓為零(0_，kT_等帶下劃線符號表示相應時刻的前瞬，下同)，即：
(2)因為狄拉克δ函數激勵下的零狀態響應h(t)的傅里葉變換即為電路的頻率響應函數，即系統(頻譜)函數H(Ω)，故設電路輸入信號(激勵)為δ函數，即：
由于電子開關周期性切換，RC電路對外電路的影響表現為：下一時段的輸出電壓初值是上一時段末時刻輸出電壓值乘(-1)，即：
圖1(a)中理想運放反相端為虛地，第0時段(即k=0，0≤t<T)電路響應h0(t)的微分方程為
由式(8)可見，第k段的非零值時區為(kT，(k+1)T_)，即各時段非零值區間互不重疊，對hk(t)關于k求和，得開關電容電路(對外)的單位沖激零狀態響應h(t)為：
特別注意，求和式是一周期為2T的周期方波p(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積，對上式取Fourier積分變換即得到開關電容電路系統頻譜函數(用j表示虛數單位，下同)：
也可以根據式(1)定義的周期為2T的開關方波信號p(t)，將式(9)改寫為：
易證式(13)與式(10)完全一致，故其幅頻特性∣H(Ω)∣仍與式(11)相同。
頻域法特性分析
開關周期切換，形成的RC并聯支路對外電路的等效電流ie(t)為：
上式說明，Ie(Ω)是輸入電流頻譜I(Ω)周期延拓的組合，周期為Ω0=2π／T。各電流分量流過RC并聯支路時的電壓為相應電流分量與RC支路阻抗(R／(1+jωτ)，ω=Ω±(2n+1)π／T)的乘積，于是輸出電壓頻譜U(Ω)為：
為求系統頻譜函數，取i(t)=-ui(t)／R1=-δ(t)／R1，I(Ω)=-1／R1，得到系統頻譜函數：
其中R／R1=τ／τ1，結果與式(14)一致，幅頻特性∣H(Ω)∣仍與式(11)相同。
結 語
給定圖1(a)電路參數τ和τ1，選擇α=τ／T分別取不同值時，根據式(11)做出的歸一化幅頻特性曲線如圖2所示，結合對式(11)做深入分析表明：
(1)α=τ／T較大時電路是梳齒幅度按奇數倒數規律衰減的梳狀濾波器，通帶中心頻率(梳齒)為：
此時圖1(a)電路允許f=fT，f=3fT，f=5fT，…等頻率成份通過，且隨著頻率的升高，輸出幅度按奇數倒數規律逐漸減小。
(2)α=τ／T較大時，f=(2n)fT(其中n=0，1，2，…)是系統的阻帶中心頻率，落在這些頻點上的信號將獲得最小傳輸系數，最小傳輸系數(即梳狀濾波器幅頻曲線谷底高度)為：
(3)該梳狀濾波器梳齒間隔(即阻帶中心頻率或通帶中心頻率間隔)為△f=2fT。
比較圖2可看出：開關轉換周期2T(相對于電路時間常數τ)越小，α越大，梳齒間谷底越接近零，梳齒越尖銳(即梳齒帶寬越窄)。例如，計算發現：圖2(a)中，α=τ／T=10，第一梳齒通帶寬度為B0.7=0.394fT。圖2(b)中，α=τ／T=2，第一梳齒通帶寬度為B0.7=2.33fT。
(4)隨著電子開關切換周期2T增大(α減小)，梳齒間谷底最小值逐漸增大。電路逐漸過渡為幅頻特性曲線輕微起伏的低通濾波器，如圖2(d)所示。低通濾波器傳輸函數極大值為：
由∣H(Ω)∣=0.707∣H(Ω)∣max可以求得低通濾波器上限截止頻率，結果表明，對于低通濾波器．仍為α越大，低通濾波器上限頻率(即帶寬)越小。
