【導(dǎo)讀】根據(jù)您在涉及圓柱形底座的其他物理領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)，您可能已經(jīng)正確猜測(cè)，當(dāng)導(dǎo)線(xiàn)具有圓形橫截面時(shí)，方程 1 的答案應(yīng)包括貝塞爾函數(shù)。對(duì)于我們總是試圖為不同現(xiàn)象開(kāi)發(fā)簡(jiǎn)單模型的工程師來(lái)說(shuō)，這不是一個(gè)好消息。貝塞爾函數(shù)可用于模擬各種物理問(wèn)題，從圓柱形物體的熱傳導(dǎo)到描述鼓皮等圓形薄膜的振動(dòng)。然而，它們可能很難可視化，并且顯然比簡(jiǎn)單的指數(shù)衰減正弦波要簡(jiǎn)單得多。
圓柱形導(dǎo)體中的電流分布
我們可以求解良導(dǎo)體的麥克斯韋方程組，找到電流密度 J 的以下微分方程：
$$ abla ^2 J = j omega mu sigma J$$
等式 1。
如果您對(duì)向量微積分概念感到生疏，那么可怕的符號(hào) ? 2 （Del 平方）被稱(chēng)為拉普拉斯算子。簡(jiǎn)而言之，拉普拉斯算子是多維空間中二階導(dǎo)數(shù)概念的推廣。它由下式給出：
$$ abla ^2 = frac{partial^2 }{partial x^2} + frac{partial^2 }{partial y^2} + frac{partial^2 }{partial z^2}$$
等式2。
方程 1 描述了良導(dǎo)體中的電流分布。它對(duì)于導(dǎo)電半空間和具有圓形橫截面的導(dǎo)線(xiàn)均有效。然而，我們針對(duì)這兩類(lèi)媒體獲得的解決方案是完全不同的。對(duì)于導(dǎo)電半空間，電流密度是一個(gè)簡(jiǎn)單的指數(shù)衰減正弦函數(shù)（如果我們假設(shè)我們正在處理平面波）。但是圓柱形導(dǎo)體呢？
根據(jù)您在涉及圓柱形底座的其他物理領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)，您可能已經(jīng)正確猜測(cè)，當(dāng)導(dǎo)線(xiàn)具有圓形橫截面時(shí)，方程 1 的答案應(yīng)包括貝塞爾函數(shù)。對(duì)于我們總是試圖為不同現(xiàn)象開(kāi)發(fā)簡(jiǎn)單模型的工程師來(lái)說(shuō)，這不是一個(gè)好消息。貝塞爾函數(shù)可用于模擬各種物理問(wèn)題，從圓柱形物體的熱傳導(dǎo)到描述鼓皮等圓形薄膜的振動(dòng)。然而，它們可能很難可視化，并且顯然比簡(jiǎn)單的指數(shù)衰減正弦波要簡(jiǎn)單得多。
由于這些函數(shù)的復(fù)雜性，我們不會(huì)詳細(xì)分析分析的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，而僅查看Simon Ramo 所著的《通信電子學(xué)中的場(chǎng)和波》一書(shū)中提供的結(jié)果。圖 1 顯示了四種不同頻率下 1 毫米直徑圓線(xiàn)橫截面電流分布的歸一化幅度。
圖 1. 圓形導(dǎo)線(xiàn)中電流分布的歸一化幅度。圖片由S. Ramo提供
上圖中的參數(shù)r 0表示導(dǎo)線(xiàn)的半徑。在頻率 ( f ) 為 1 kHz 時(shí)，集膚深度約為導(dǎo)體半徑的 4.2 倍（或等效 r 0 /δ = 0.239）。正如您所看到的，在這種情況下電流分布幾乎是均勻的。
隨著頻率增加，趨膚深度減小，并且比率r 0 /δ從1kHz處的0.239增加至1MHz處的7.55。請(qǐng)注意，即使對(duì)于r 0 /δ=2.39，導(dǎo)線(xiàn)中心處的電流密度也幾乎是導(dǎo)體表面處的電流密度的一半。這與集膚效應(yīng)的簡(jiǎn)化描述不一致，集膚效應(yīng)指出電流密度在δ深度處降低至其表面值的e -1 =0.37。
圖 2 將 r 0 /δ=2.39 和 r 0 /δ=7.55的實(shí)際電流分布與電流密度的指數(shù)衰減分布（對(duì)應(yīng)于導(dǎo)電半空間中的波傳播）進(jìn)行了比較。正如您所看到的，只有當(dāng)導(dǎo)體的曲率半徑遠(yuǎn)大于趨膚深度時(shí)，半空間情況的結(jié)果才能用于近似圓線(xiàn)中的實(shí)際電流分布。
圖 2. 實(shí)際電流分布與平行平面公式的比較。圖片由S. Ramo提供
根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，如果導(dǎo)體的所有曲率半徑和厚度至少比趨膚深度大 3-4 倍，我們假設(shè)給定的導(dǎo)體類(lèi)似于半無(wú)限塊。到目前為止，在這個(gè)由兩部分組成的系列中，我們依靠求解麥克斯韋方程組來(lái)描述集膚效應(yīng)的一些重要的特征。通過(guò)觀察法拉第感應(yīng)定律如何在導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生渦流，可以對(duì)這種效應(yīng)有更深入（也許更有用）的了解。有了這種洞察力，我們就可以更好地理解不同互連的行為方式。
法拉第感應(yīng)定律和渦流
根據(jù)法拉第定律，變化的磁場(chǎng)會(huì)在導(dǎo)線(xiàn)中感應(yīng)出電動(dòng)勢(shì)（從而產(chǎn)生電流）。圖 3(a) 中簡(jiǎn)單而熟悉的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了該定律的基本思想。通過(guò)將磁鐵靠近電線(xiàn)環(huán)，電線(xiàn)中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流。
圖 3.改變磁場(chǎng)會(huì)在導(dǎo)體中感應(yīng)出電流
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與通過(guò)電路的磁通量的時(shí)間變化率成正比。此外，感應(yīng)電流往往與初產(chǎn)生感應(yīng)電流的原始磁通量的變化相反（楞次定律）。
圖 3(b) 顯示了當(dāng)磁鐵靠近線(xiàn)圈時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)磁通量。感應(yīng)磁場(chǎng)的方向是試圖保持原始磁通量不發(fā)生變化。
什么是渦流？
正如變化的磁場(chǎng)可以在環(huán)路中感應(yīng)出電流一樣，當(dāng)將大塊金屬置于變化的磁場(chǎng)中時(shí)，它也可以在大塊金屬中產(chǎn)生循環(huán)電流。這些循環(huán)電流稱(chēng)為渦流，如圖 4 所示。
圖 4. 在導(dǎo)電平面中產(chǎn)生渦流。圖片由Sciencefacts提供
再次注意感應(yīng)電流的方向。假設(shè)線(xiàn)圈的磁場(chǎng)沿所描繪的方向增加，則感應(yīng)出逆時(shí)針?lè)较虻碾娏饕援a(chǎn)生與線(xiàn)圈的原始磁場(chǎng)的變化相反的磁場(chǎng)。
載流導(dǎo)體內(nèi)的渦流
當(dāng)電流流過(guò)電線(xiàn)時(shí)，會(huì)在電線(xiàn)內(nèi)部和外部產(chǎn)生磁場(chǎng)。對(duì)于交流電流，導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部有一個(gè)隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，根據(jù)法拉第定律，導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生渦流。如下圖 5 所示。
圖 5.交流電流在電線(xiàn)中感應(yīng)出渦流。
可以看出，渦流在導(dǎo)體表面附近沿主電流方向流動(dòng)，但在導(dǎo)體內(nèi)部沿相反方向流動(dòng)。因此，靠近導(dǎo)體表面流動(dòng)的總電流增加，而流過(guò)導(dǎo)體更深層的電流減少。
導(dǎo)體中的電流擁擠
應(yīng)該注意的是，導(dǎo)體的某些表面可能比其他表面更有效地承載交流電流。為了理解這一點(diǎn)，請(qǐng)回想一下我們上面的討論，變化的磁場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致集膚效應(yīng)。現(xiàn)在，如果導(dǎo)體的特定表面處的磁場(chǎng)更強(qiáng)，我們可以預(yù)期該表面將承載更大部分的電流。例如，考慮圖 6 中所示的微帶線(xiàn)的橫截面。
圖 6.參考平面上微帶線(xiàn)導(dǎo)體的橫截面。
圖 6 顯示了微帶線(xiàn)中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的一般模式以及粗略的電流分布。請(qǐng)注意，這不是模擬結(jié)果。這只表明行為粗暴！
您是否注意到磁場(chǎng)更加集中在走線(xiàn)的底面和地平面之間？因此，微帶線(xiàn)的底面比其頂面承載更多的電流。例如，大約 60% 的電流可能集中在線(xiàn)路橫截面區(qū)域的深色陰影區(qū)域。由于相鄰載流導(dǎo)體的影響而導(dǎo)致電流聚集在特定表面的現(xiàn)象稱(chēng)為鄰近效應(yīng)。
并行線(xiàn)路中的電流擁擠
當(dāng)處理兩根平行的圓柱形線(xiàn)時(shí)，觀察到類(lèi)似的效果（圖 7）。在該圖中，兩個(gè)導(dǎo)體中的電流方向相反，因此導(dǎo)線(xiàn)之間的磁場(chǎng)強(qiáng)。結(jié)果，當(dāng)前的人群聚集在彼此相對(duì)的表面上。
圖 7. 平行線(xiàn)的電流擁擠和鄰近效應(yīng)。圖片由J. Davis提供
矩形導(dǎo)體中的電流擁擠
有趣的是，即使對(duì)于孤立的電線(xiàn)（沒(méi)有鄰近效應(yīng)），導(dǎo)體的所有表面也可能不會(huì)承載相同量的電流。例如，細(xì)而寬的矩形導(dǎo)體的電流分布如圖 8 所示。如您所見(jiàn)，垂直表面的電流密度大于水平表面。這是因?yàn)檫@些表面具有更強(qiáng)的磁場(chǎng)。
圖 8. 細(xì)矩形導(dǎo)線(xiàn)中的電流分布。圖片由Thomas H. Lee提供
方形導(dǎo)體中的電流擁擠
從上面顯示的薄矩形導(dǎo)體的結(jié)果中，您也許能夠猜測(cè)方形導(dǎo)體的電流分布是什么樣的。圖 9 顯示了方形橫截面導(dǎo)體中的電流擁擠情況。四個(gè)角的電流密度。
圖 9. 方形導(dǎo)體的電流分布。圖片由艾倫·佩恩提供
不要忘記頻率對(duì)當(dāng)前擁擠的影響
正如我們?cè)诒疚拈_(kāi)頭附近討論的那樣，電流分布和趨膚深度是頻率的函數(shù)。當(dāng)然，電流擁擠也取決于交流信號(hào)的頻率。直流信號(hào)不會(huì)出現(xiàn)電流擁擠，并且會(huì)隨著頻率的增加而增加（直到某個(gè)點(diǎn)）。
由于電流擁擠，導(dǎo)體會(huì)遭受二次效應(yīng)，需要在實(shí)際應(yīng)用中考慮。導(dǎo)體的有效電阻可能比我們假設(shè)恒定電流分布時(shí)更高。電流擁擠還會(huì)導(dǎo)致導(dǎo)體中的熱量和應(yīng)力增加。當(dāng)您創(chuàng)建使用時(shí)變信號(hào)的新設(shè)計(jì)時(shí)，始終考慮渦流和電流擁擠對(duì)電路性能的潛在影響。
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